Pisagor teoremi

Pisagor teoremine göre bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarının kareleri toplamı, "hipotenüs" olarak adlandırılan üçüncü kenarın uzunluğunun karesine eşittir. Bu teorem adını ünlü Yunan düşünür Pisagor'dan alır.

Eğer üçgenin birbirine dik olan iki kenarına aaa ve bbb, hipotenüse de ccc dersek Pisagor teoremini şu şekilde ifade ediyor.
Bu denklem, aslında Öklidyen geometride geçerlidir. Fakat eğitim hayatlarımızın önemli bir süresi boyunca sadece Öklidyen geometride çalıştığımız için bu durum genellikle göz ardı edilir. Pisagor'dan bu yana Pisagor teoremi üzerinde çalışan matematikçiler, nnn pozitif bir doğal sayı olmak üzere aşağıdaki maddelerin sağlandığı genellemesine ulaşmıştır:

Bu teoreme göre dik üçgen oluşturabilecek çeşitli tamsayı kümeleri vardır. Örneğin (3,4,5)(3, 4, 5)(3,4,5) bunlardan biridir çünkü 32+42=523^2 + 4^2 = 5^23
2
+4
2
=5
2
eder. Bu kombinasyon ve bunun türevleri, Antik Mısır, Çin, Babil ve Hint uygarlıklarında genellikle inşaat işlerinde kullanılmıştır. Ancak şu an kısa bir cümle ile teoremi anlatabiliyorsak bunu Pisagor'a borçlu olduğumuz söylenebilir, çünkü bin küsur yıldır kullanılan yöntemi gözlemleyip formülleştiren kendisi olmuştur.

Efsaneye göre Pisagor, sarayda Samos tiranı Polycrates'i beklerken sıkılır ve yerdeki fayans döşemeyi incelemeye başlar. Buradaki motiften, dik üçgenlerin hipotenüs kenarındaki karelerin alanlarının, diğer iki kenardaki karelerin alanlarına eşit olduğunu fark eder ve sonrasında ünlü Pisagor teoremini geliştirir.


Pisagor teoreminin birçok ispatı vardır. Fakat insanlar olarak bazen bazı şeyleri gözle görmek, konuyu çok daha iyi kavramamızı sağlayabiliyor. Bu nedenle Pisagor teoremini, görsel olarak basit bir deneysel doğrulama yaparak, özellikle bu konuyu yeni öğrenen öğrencilere çok daha açıklayıcı bir biçimde anlatabilirsiniz. Aşağıdaki GIF bize bunu harika bir şekilde gösteriyor.


erdeki döşemeye bakıp hem kendi adıyla anılacak hem de asırlar boyunca kullanılacak bir teorem geliştirmek Pisagor'un büyük bir şansı gibi görünebilir fakat Pisagor'un şansı, o anda orada bulunması değil, Miletli Thales gibi önemli bir öğretmene sahip olmuş olmasıydı. Thales sayesinde matematik ve astronomiyle tanışmış ve yine onun sayesinde Mısır'a bu alanlarda eğitim görmeye gidebilmişti.

Pisagor'un gördüğü eğitim, matematiğin doğadaki yerini ve önemini kavramasını sağlamıştı. Doğanın ve doğadaki düzenin sayılarla açıklanabileceğine inanıyordu. Bu nedenle tek, çift, üçgensel ve mükemmel sayıların özelliklerini inceledi.

Pisagor ve takipçilerinin tarihte büyük bir yeri var, ancak bunun tek nedeni elbette Pisagor'un dik üçgenlerle ilgili teoremi değil. Bunun yanında geometriye bilimsel bir bakış getirmeleri, bulgularını sistemli kanıtlara dayandırmaları da onların önemini artırdı.

Öncelikle AAA açısı dik olacak şekilde bir ABCABCABC üçgeni çizer. Bir kenarı ABCABCABC üçgenin kenar uzunlukları kadar olan kareleri, bu üçgenin etrafına yerleştirir ve AAA köşesinden DEDEDE kenarına bir dikme indirir. İspatın sonunda pembe alanlar ile mavi alanların birbirine eşit olduğunu ortaya koyar ve bu da iki küçük karenin alanları toplamının hipotenüsteki karenin alanına eşit olduğu anlamına gelir.
Yukarıda gösterildiği gibi DADADA ve ICICIC doğru parçalarını çizdiğimizde oluşan içi taralı yeşil üçgenlerin alanları birbirine eşit olur. Çünkü DBADBADBA ile IBCIBCIBC açıları ve bu açıyı oluşturan kolların uzunlukları (bbb ve ccc kenarları) birbirine eştir. Kenar-açı-kenar benzerliğinden bu iki üçgenin eş üçgenler olduğunu söyleyebilir ve buradan da alanlarının da eşit olacağı sonucuna varabiliriz.
Aynı iki doğru arasında bulunan ve taban uzunlukları eşit olan bir dikdörtgen ve üçgenden, dikdörtgenin alanı üçgenin alanının iki katı olur. Bu durumda BDJK dikdörtgeninin alanı, BDA üçgenininkinin iki katı (ikisi de BD ve AJ paralel doğruları arasında); BAHI karesinin alanı da IBC üçgenininkinin (her ikisi de IB ve HC paralel doğruları arasında) iki katı olur. Üçgenlerin alanı eşit olduğundan, belirtilen dikdörtgenlerin alanları da eşit olacaktır.